Komplexe Zahlen, Anwendung in der Elektrotechnik

Prof.Dr.W.Kubitzki, FH Kaiserslautern, Sto Zweibrücken, Studiengang Mikrosystemtechnik, 27.01.2003, V3

warum komplexe Zahlen
was sind komplexe Zahlen
Darstellungsarten von komplexen Zeigern und komplexen Zahlen
Rechnen mit komplexen Zahlen
Übungen
Applets zur interaktiven Rechnung

warum komplexe Zahlen

der Umgang mit Liniendiagrammen in der Netzwerkberechnung ist reichlich umständlich (Addition von Sinusgrößen gleicher Frequenz, aber unterschiedlicher Amplitude und Phase), besonders bei der Addition und Multiplikation von zeitabhängigen Größen.
Die Behandlung der Aufgaben mit Zeigerdiagrammen ist schon einfacher, aber beschränkt die erreichbare Genauigkeit auf die der Zeichnung und hat keine analytische Entsprechung.
Es muß daher eine Methode verwendet werden, die die Vorteile der Zeigerdarstellung für eine rechnerische Behandlung erhält
Dies leistet die Darstellung der Zeitfunktionen in komplexer Form

was sind komplexe Zahlen

Eine Methode, um Terme darzustellen, die z. Bsp. bei der Ermittlung von Polynomnullstellen entstehen.

Aufgabe	Für ein quadratisches Polynom in der allgemeinen Form mit den Koeffizienten a, b und c werden die Nullstellen x₁, x₂ gesucht, dies entspricht einer. Zerlegung in die Linearfaktoren (x-x₁)(x-x₂)
	Die Lösung in allgemeiner Form lautet.
Problem	Ist der Ausdruck unter der Wurzel kleiner als Null, also b²<4ac, so ist eine Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen.
Lösung	Die Einführung der Wurzel aus negativen Zahlen führt zu einer Erweiterung des Zahlenbegriffes, sie heißen imaginäre Größen. Für b²<4ac lautet die Lösung demnach

Eine imaginäre Einheit ist die Wurzel aus "-1" und erhält die Bezeichnung i oder j (Elektriker verwenden j).

Komplexe Zahlen sind Terme, die aus reellen Zahlen und imaginären Zahlen zusammengesetzt sind.

Der Term x wird als Realteil, der Term y als Imaginärteil bezeichnet.

Beispiel	Ein quadratisches Polynom sei gegeben
	Die beiden Nullstellen x₁und x₂ lauten
	Der Realteil beträgt 1, der Imaginärteil beträgt +2 bzw. -2

Komplexe Zahlen werden in der komplexen Zahlenebene als Zeiger dargestellt und können durch Addition von Real- und Imaginärteil einfach behandelt werden. Komplexe Größen werden in der Notation unterstrichen dargestellt. Auf der Abszisse (reelle Achse) sind die reellen Komponenten der komplexen Zahl, auf der Ordinate (imaginäre Achse) die imaginären Komponenten aufgetragen. Die beiden Lösungen x₁=1+2j und x₂=1-2j sind die beiden Zeiger im Diagramm. Die beiden Zeiger sind spiegelbildlich zur reellen Achse, da sich die Imaginärteile nur durch das Vorzeichen unterscheiden und der Realteil gleich ist. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra treten komplexe Lösungen stets paarweise auf und sind zueinander konjugiert komplex.

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Darstellungsarten von komplexen Zeigern und komplexen Zahlen:

Für die Darstellung komplexer Zahlen werden drei unterschiedliche Formen verwendet. Jede Form kann durch eine algebraische Beziehung in die andere überführt werden. Sie werden entsprechend der beabsichtigten Anwendung eingesetzt. Im Prinzip entsprechen die Formen denjenigen, die auch zur Darstellung eines Spaltenvektors mit zwei Zeilen verwendet werden. Die drei Darstellungsarten sind:

	Komponentendarstellung:
	Trigonometrische Darstellung:
	Exponentialform:

Aus der grafischen Darstellung sind die Zusamenhänge zwischen den einzelnen Darstellungsformen zu ersehen.

z ist der Betrag einer komplexen Zahl, d.h. die Zeigerlänge
ist der Winkel des Zeigers, den dieser im mathatisch positiven Sinn mit der reellen Achse einschließt.

Die Umwandlung der einen Darstellungsform in die andere erfolgt an Hand der Beziehungen aus der Trigonometrie für ein rechtwinkliges Dreieck.

Es sind dies:

Der Betrag z
Der Winkel
Der Realteil x
Der Imaginärteil y

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Rechnen mit komplexen Zahlen

Addition, Subtraktion

Für die Addition bzw. Subtraktion komplexer Zahlen ist die Komponentenform die geignete Darstellungsform.

Gegeben sind zwei komplexe Zahlen in Komponentenform
Summe
Differenz

Beispiel:

Die beiden komplexen Zahlen
Summe
Differenz

Zur Addition von komplexen Zeigern muß ein Zeiger in das Ende des anderen Zeigers parallel verschoben werden, der resultierende Summenzeiger ist die längere Diagonale des Parallelogrammes. Zur Subtraktion ist die kleinere Diagonale des Parallelogrammes zu nehmen, die Richtung ergibt sich wie bei der Maschenregel oder der Vektorrechnung.

Komplexe Zahlen werden addiert bzw. subtrahiert, indem man ihre Komponenten addiert bzw. subtrahiert.

konjugiert komplexer Zeiger

Wenn zu einem Zeiger z ein Zeiger z^* erstellt wird, dessen Realteil x identisch dem Realteil z ist und dessen Imaginärteil betragsmäßig genauso groß ist, aber das entgegengesetzte Vorzeichen trägt, so ist der Zeiger z^* konjugiert komplex zum Zeiger z.

Beispiel: Der konjugiert komplexe Zeiger von z₁ wäre z₁^*=3-j2. Es ist sofort nachprüfbar, daß beide den gleichen Betrag besitzen. Grafisch entsteht z₁^*durch Spiegelung des Zeigers an der reellen Achse.

Multiplikation

Für die Multiplikation komplexer Zahlen ist die Exponentialform die geignete Darstellungsform.

Produkt in Komponentenform
Produkt in Exponentialform

Komplexe Zahlen weden in der Exponentialform multipliziert, indem die Beträge multipliziert und die Phasenwinkel addiert werden.

konjugiert komplexes Produkt

Multipliziert man eine komplexe Zahl z mit ihrer konjugiert komplexen z^*, so erhält man das Quadrat des Betrages z².

Division

Auch für die Division ist die Exponentialform bevorzugt zu verwenden.

Komponentenform:
Expomentialform

In Komponentenform werden Zähler z₁und Nenner z₂ mit der konjugiert komplexen z₂^*erweitert ("Nenner reell machen"), damit im Zähler wieder Real- und Imaginärteil zusammengefaßt werden können.

Komplexe Zahlen werden in der Exponentialform dividiert, indem der Betrag des Zählers durch den Betrag des Nenners dividiert und der Winkel des Nenners vom Winkel des Zählers subtrahiert wird.

konjugiert komplexer Quotient

Der konjugiert komplexe Quotient zweier komplexer Zahlen ergibt sich als Quotient des konjugiert komplexen Zählers und des konjugiert komplexen Nenners.

Kehrwert

Komponentenform:
Exponentialform

Der Kehrwert einer komplexen Größe hat die Richtung seiner konjugiert Komplexen ( Spiegelung an der reellen Achse), seine Länge ist der Kehrwert des Betrages.

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Übungen

Aufgabe 1: Gegeben sei folgende Funktion: f(z)=z²-8z+25 für z aus C.

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion und stellen Sie das Ergebnis auf drei verschiedene Arten dar!
Stellen Sie das Ergebnis in der komplexen Ebene dar!
Zeichnen Sie den Graph der Funktion in einem orthogonalen Koordinatensystem!

Aufgabe 2:Gegeben sei folgende Funktion: f(z)=z²+az+5 für z aus C; -5<=a<=5; a aus z

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktionen in arithmetischer Form (Komponentenform)!
Stellen Sie die Ergebnisse in der komplexen Ebene dar!
Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen in ein orthogonales Koordinatensystem!

Aufgabe 3: Berechnen Sie von folgenden komplexen Zahlen die Exponentialformt

z1=4,67+j2,17; z2=2,73-j1,98; z3=-3,196+j6,34; z4=-3-j4
Stellen Sie nach der Berechnung die Zahlen in der komplexen Ebene dar und über prüfen Sie Ihre Ergebnisse!

Aufgabe 4:

Berechnen Sie

Aufgabe 5: Was ergibt:

Aufgabe 6:

Berechnen Sie die arithmetische Form von

Aufgabe 7:

Lösen Sie die Gleichung

Applets zur interaktiven Rechnung

Zur Kontrolle Ihrer Rechnungen könnnen Sie die beiden nachfolgenden Applets verwenden.

Dieses Applet erlaubt Ihnen, komplexe Zahlen von der Komponentenform in die Exponentialform zu konvertieren und umgekehrt.
Wählen Sie im Auswahlfeld die Eingabeform. Geben Sie bitte den gewünschten Real- und Imaginärteil ein oder den Betrag und den Phasenwinkel (in Grad) und betätigen den Button Berechnen. Haben Sie als Eingabeform Komponenten gewählt, erfolgt die Ausgabe des Betrages und des Phasenwinkels. Bei Auswahl der Eingabeform Exponential erhalten Sie die Ausgabe in Komponentenform. Statt eines Kommas verwenden Sie bitte wie üblich einen Punkt.

Dieses Applet erlaubt Ihnen, komplexe Zahlen

zu addieren
zu subtrahieren
zu multiplizieren
zu dividieren

Wählen Sie im Auswahlfeld die gewünschte Operation. Geben Sie bitte jeweils den gewünschten Real- und Imaginärteil ein und betätigen Sie den Button Berechnen. Sie erhalten das Ergebnis der Operation sowohl in Komponentendarstellung als auch in der Exponentialform. Statt eines Kommas verwenden Sie bitte wie üblich einen Punkt. Bei Anwendung der Divisionsoperation müssen sowohl Real- als auch Imaginärteil von z2 von Null verschieden sein.

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